Los números de Dedekind describen la cantidad de formas en que se pueden combinar conjuntos de operaciones lógicas, y son endiabladamente difíciles de calcular, con solo ocho conocidos desde 1991, y ahora los matemáticos han calculado el noveno de la serie.
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| Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) before 1886. |
Un número de 42 dígitos que los matemáticos han estado buscando durante décadas, gracias a su gran dificultad para calcular, de repente fue encontrado por dos grupos separados al mismo tiempo. Este noveno número de Dedekind, como se le conoce, puede ser el último de la secuencia que sea factible de descubrir.
Un ejemplo novedoso de un número entero único conocido como número de Dedekind ha sido encontrado por matemáticos después de décadas de estudio, búsqueda y examen.
Según un comunicado de prensa, haciendo historia con 42 dígitos, los científicos de la Universidad de Paderborn y KU Leuven han descifrado un misterio de las matemáticas de tres décadas de antigüedad con el llamado noveno número de Dedekind.
Expertos de todo el mundo han estado buscando su valor desde 1991. Los científicos de Paderborn llegaron a la secuencia exacta de números con la ayuda de la supercomputadora Noctua ubicada allí.
Este estudio, que comenzó como un proyecto de tesis de maestría de Lennart Van Hirtum, se ha convertido en un gran éxito. Lennart Van Hirtum es ahora investigador asociado en la Universidad de Paderborn.
Los científicos se unen a un grupo ilustre con su trabajo. Los números anteriores de la serie fueron encontrados por el propio matemático Richard Dedekind cuando definió el problema en 1897, y más tarde por los grandes de las primeras ciencias de la computación como Randolph Church y Morgan Ward.
"Durante 32 años, el cálculo de D(9) fue un desafío abierto, y era cuestionable si alguna vez sería posible calcular este número", dice Van Hirtum.
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| El noveno número de Dedekind se calculó utilizando la supercomputadora Noctua 2 en la Universidad de Paderborn en Alemania. |
Granos de arena, ajedrez y superordenadores
El tema principal de los números de Dedekind son las llamadas funciones booleanas monótonas. Van Hirtum explica: "Básicamente, puedes pensar en una función booleana monótona en dos, tres e infinitas dimensiones como un juego con un cubo de n dimensiones. Equilibras el cubo en una esquina y luego coloreas cada una de las esquinas restantes de blanco o rojo. Solo hay una regla: nunca debe colocar una esquina blanca sobre una roja. Esto crea una especie de intersección vertical rojo-blanco.
"El objetivo del juego es contar cuántos cortes diferentes hay. Su número es lo que se define como el número de Dedekind. Aunque no lo parezca, los números rápidamente se vuelven gigantes en el proceso: el 8º número de Dedekind ya tiene 23 dígitos".
Números comparablemente grandes, pero incomparablemente más fáciles de calcular, se conocen a partir de una leyenda sobre la invención del juego de ajedrez. "Según esta leyenda, el inventor del juego de ajedrez le pidió al rey solo unos pocos granos de arroz en cada casilla del tablero de ajedrez como recompensa: un grano en la primera casilla, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera , y el doble en cada una de las casillas siguientes. El rey se dio cuenta rápidamente de que esta petición era imposible de cumplir, porque no existe tanto arroz en todo el mundo.
"La cantidad de granos de arroz en el tablero completo tendría 20 dígitos, una cantidad inimaginable, pero aún menor que D(8). Cuando te das cuenta de estos órdenes de magnitud, es obvio que tanto un método computacional eficiente como un método muy rápido se necesitaría una computadora para encontrar D(9)", dijo Van Hirtum.
Hito: los años se convierten en meses
Para calcular D(9), los científicos utilizaron una técnica desarrollada por el asesor de tesis de maestría Patrick De Causmaecker conocida como fórmula del coeficiente P. Proporciona una forma de calcular los números de Dedekind no contando, sino con una suma muy grande. Esto permite decodificar D(8) en solo ocho minutos en una computadora portátil normal. Pero, "Lo que toma ocho minutos para D(8) se convierte en cientos de miles de años para D(9). Incluso si usara una gran supercomputadora exclusivamente para esta tarea, todavía tomaría muchos años completar el cálculo", Van Hirtum Señala.
El principal problema es que la cantidad de términos en esta fórmula crece increíblemente rápido. "En nuestro caso, al explotar las simetrías en la fórmula, pudimos reducir la cantidad de términos a 'solo' 5,5x10 18 , una cantidad enorme. En comparación, la cantidad de granos de arena en la Tierra es de aproximadamente 7,5x10 18 , lo cual no es para estornudar, pero para una supercomputadora moderna, las operaciones de 5.5x10 18 son bastante manejables", dijo el científico informático.
El problema: el cálculo de estos términos en procesadores normales es lento y, además, el uso de GPU, ya que actualmente es la tecnología de aceleración de hardware más rápida para muchas aplicaciones de IA, no es eficiente para este algoritmo.
La solución: hardware específico de la aplicación que utiliza unidades aritméticas paralelas y altamente especializadas, las denominadas FPGA (matrices de compuertas programables en campo). Van Hirtum desarrolló un prototipo inicial para el acelerador de hardware y comenzó a buscar una supercomputadora que tuviera las tarjetas FPGA necesarias. En el proceso, conoció la computadora Noctua 2 en el "Paderborn Center for Parallel Computing (PC2)" de la Universidad de Paderborn, que tiene uno de los sistemas FPGA más potentes del mundo.
El Prof. Dr. Christian Plessl, jefe de PC2, explica: "Cuando Lennart Van Hirtum y Patrick De Causmaeker se pusieron en contacto con nosotros, inmediatamente nos quedó claro que queríamos apoyar este proyecto increíble. Resolver problemas combinatorios difíciles con FPGA es un campo prometedor. de aplicación y Noctua 2 es una de las pocas supercomputadoras en todo el mundo con las que el experimento es factible. Los requisitos extremos de confiabilidad y estabilidad también representan un desafío y una prueba para nuestra infraestructura. El equipo consultor experto en FPGA trabajó en estrecha colaboración con Lennart para adaptar y optimizar la aplicación para nuestro medio ambiente".
Después de varios años de desarrollo, el programa se ejecutó en la supercomputadora durante unos cinco meses. Y llegó el momento: el 8 de marzo, los científicos encontraron el noveno número de Dedekind: 286386577668298411128469151667598498812366.
Hoy, tres años después del inicio del proyecto Dedekind, Van Hirtum está trabajando como miembro de la Escuela de Graduados NHR en el Centro Paderborn de Computación Paralela para desarrollar la próxima generación de herramientas de hardware en su Ph.D. La Escuela de posgrado NHR (National High Performance Computing) es la escuela de posgrado conjunta de los centros de NHR. Informará sobre su extraordinario éxito junto con Patrick De Causmaecker el 27 de junio a las 14:00 horas en el Lecture Hall O2 de la Universidad de Paderborn.
