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| Este marco se basa en ecuaciones diferenciales parciales de Fokker-Planck. |
La Ecuación de Fokker-Planck
La ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de distribución de probabilidad de la velocidad (o posición) de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias. Es fundamental en la física estadística y tiene aplicaciones extraordinarias en múltiples campos.
La ecuación de Fokker–Planck (FPE) describe cómo evoluciona en el tiempo la probabilidad de que un sistema físico, químico, biológico o tecnológico esté en cierto estado cuando hay fuerzas + azar.
Historia
La ecuación lleva el nombre de dos físicos:
Adriaan Fokker (1887-1972), físico holandés que derivó una versión de esta ecuación en 1914 mientras trabajaba en su tesis doctoral sobre el movimiento browniano.
Max Planck (1858-1947), el legendario físico alemán y padre de la teoría cuántica, quien en 1917 desarrolló de forma independiente y más completa esta ecuación mientras estudiaba procesos estocásticos.
Sin embargo, la historia es más rica: Andréi Kolmogórov también trabajó en ecuaciones similares en los años 30, por lo que en la literatura rusa a veces se le llama ecuación de Kolmogórov. El contexto histórico está vinculado al estudio del movimiento browniano iniciado por Einstein en 1905 y los trabajos de Langevin sobre ecuaciones estocásticas.
La ecuación de Fokker - Planck es una descripción válida al mismo nivel que la de Langevin. La ecuación de Fokker-Planck puede derivarse de la ecuación maestra mediante un truncamiento adecuado de una expansión conocida como expansión de Kramers - Moyal [ 1409 ]. La ecuación truncada es esencialmente una ecuación maestra.
Introducción a la dinámica de los coloides
La ecuación de Fokker-Planck, en este contexto, es la ecuación de movimiento para la función de densidad de potencia (fdp) de las coordenadas de momento y posición de todas las partículas brownianas del sistema. Esta ecuación de movimiento es válida en la escala de tiempo de Fokker-Planck, donde las coordenadas del espacio de fases de las moléculas del disolvente están relajadas (véase el capítulo 2 ).
En la ciencia coloidal, la expresión «ecuación de Fokker-Planck» se refiere explícitamente a la ecuación de movimiento para la función de densidad de fuerzas (fdp) de las coordenadas de momento y posición. En textos más generales, esta nomenclatura suele reservarse para toda una clase de ecuaciones de movimiento , a la que pertenecen todas las ecuaciones de movimiento derivadas en este capítulo. En este capítulo, reservamos el nombre «ecuación de Fokker-Planck» para la ecuación de movimiento derivada en esta sección y asignamos a cada ecuación de movimiento tratada en secciones posteriores su propio nombre.
¿Por qué es tan importante? (Impacto científico)
La ecuación de Fokker–Planck es importante porque permite:
✔ Predecir sistemas con ruido
Nada en el mundo real es 100% determinista.
✔ Unir física clásica y teoría de probabilidad
✔ Modelos computacionales modernos
Motores de IA, simulaciones científicas, modelado de vehículos.
✔ Diseño de sensores y electrónica
Permite entender el ruido en:
- sensores automotrices,
- circuitos,
- señales de diagnóstico.
✔ Métodos numéricos modernos
Simulación Monte Carlo, dinámica molecular, CFD estocástico.
Forma matemática (muy breve, sin complicaciones)
Donde:
- A(x) → deriva (fuerzas)
- B(x) → difusión (ruido)
- p(x,t) → probabilidad de estar en x en el tiempo t
Resumen final en palabras simples
La Fokker–Planck es una ecuación que dice cómo cambia la probabilidad en un sistema que tiene orden + ruido.
Nació estudiando partículas en líquidos.
Hoy está en física, química, biología, economía, vehículos, electrónica e inteligencia artificial.
Es una base fundamental para entender el mundo real donde nada es perfecto ni exacto.
